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By Blatter C.

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Example text

5 Es gelten folgende Identit¨aten: x = sgn x · |x| , sgn (x · y) = sgn x · sgn y ; die Signumfunktion ist also ebenfalls multiplikativ. Von den rationalen zu den reellen Zahlen Die hier behandelten Rechenregeln gelten zun¨achst in Q, dann aber auch in R. Was sind denn u ¨berhaupt “reelle Zahlen”? Schon die Pythagor¨aer wußten, daß die rationalen Zahlen f¨ ur eine befriedigende Theorie des Quadrats nicht 28 1 Grundstrukturen ausreichen. ” R ist also eine Erweiterung, “Vervollst¨andigung” von Q. Um hiervon eine gewisse Vorstellung zu vermitteln, nehmen wir allerdings zuerst eine Ausd¨ unnung von Q vor, indem wir von den gemeinen Br¨ uchen nur noch die behalten, deren Nenner eine Potenz von 10 bzw.

N+1 n+1 Es ist also gelungen, die Reihe (1) zu summieren, das heißt: eine -freie Darstellung von Sn anzugeben. Wir behandeln nun dieses einfache Beispiel noch einmal mit Hilfe einer Variablentranslation. Aufgrund von (2) ist n Sn = k=1 1 − k n k=1 1 . k+1 (3) 18 1 Grundstrukturen In der zweiten Summe setzen wir k := k − 1 bzw. k + 1 = k ; dann geht k von 2 bis n + 1, und wir erhalten n k=1 1 = k+1 n+1 k =2 1 = k n+1 k=2 1 , k wobei der Strich zum Schluß wieder weggelassen wurde. Aus (3) ergibt sich nun n n+1 1 1 1 Sn = − =1− , k k n+1 k=1 k=2 wie oben.

Die Betragsfunktion ist multiplikativ: |x · y| = |x| · |y| , und sie gen¨ ugt der sogenannten Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y| , die bei Fehlerabsch¨atzungen eine zentrale Rolle spielt. 26 1 Grundstrukturen Tritt die Betragsfunktion in einer definierenden Gleichung auf, so sind im allgemeinen Fallunterscheidungen notwendig. 2 Wir behandeln die folgende Aufgabe: Man zeichne den Graphen der Funktion f (x) := 2 − |1 − x| − |x| . Die Terme |1 − x| und |x| bewirken, daß jedenfalls an den Stellen 0 und 1 “etwas passiert”.

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