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By K. Jänich

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I l 1\ Zo \ '" / ........ v V Figur 49 28 Kap. II: Analytische Funktionen Weil nun hierbei "infinitesimal kleine" Figuren nicht verzerrt, sondern nur gedreht und vergrößert oder verkleinert werden, also ihre Form behalten, nennt man solche Abbildungen "lokal konform", genauer Definition: Eine Funktion f: G ..... Cheißt lokalkonform, wenn sie total differenzierbar und das Differential überall eine Drehstreckung ist, d. h. also nach obigem Lemma: Wenn sie analytisch und überallj' (z) * 0 ist.

Ableitungsregel für Umkehrabbildungen: Notieren wir eine konforme Abbildung j: G --+ [; und ihre (dann ebenfalls konforme) Umkehrungj-l: [; --+ G in der Gleichungsschreibwei~ als w = w(z) und z = z(w), EB In der z-Ebene In der w-Ebene Figur 55 § 3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen so gl'1 t z '() w 31 1 - 0 der -dz- = -1- . D = -w'(z) dw dw Tz Anwendungsbeispiel: Der Hauptzweig der n-ten Wurzel n Figur 56 ist analytisch (als konforme Abbildung) und es gilt wie im Reellen: ~Vz=~ Vz dz Beweis: Setze w(z) = Vz Vz, also z(w) = n z w n und daher dw = ( dz dz dw )-1 = __ 1_ = nw n - I ~ nw n =-,qed.

An den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist auch ein interessanter theoreti- scher Sachverhalt abzulesen, nämlich daß Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen § 4 Potenzreihen 33 "harmonisch" sind. Wie vorhin schon bemerkt ist ja jede analytische Funktion Co<>, also können wir insbesondere die zweiten partiellen Ableitungen von u und v bilden und es gilt uxy = uyx ' vxy = vyx ' wie aus der Infinitesimalrechnung bekannt ist. h. erfüllen die Differentialgleichung Llu = 0 bzw. Llv = O.

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