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By Wilhelm Blaschke (auth.)

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Elementary Euclidean geometry: An undergraduate introduction

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MÖBIUS (1859} wiedergefunden haben. Jetzt haben wir aber aus (2) Q(2) ,P(2) ,P(3) = 0,(3) und wegen (3) gelten auch die durch Reihumtausch daraus entstehenden Gleichungen. p<3). Das Achsenkreuz der a1 = Oe10 geht also aus dem der a}"l durch Spiegelung an Ergebnis von STEPHANOS neu erwiesen. p<"l hervor. Damit ist das 24. Lineare Gleichun~en. H. GRAsSMANNs Erklärungen der Determinanten (11) überträgt sich ohne Mühe auf n-reihige. Nehmen wir n-stufige Vektoren e1 , e2, ••• , e,. und bilden wir ihre polaren Produkte (1) die bei Vertauschung zweier Faktoren ihr Vorzeichen wechseln.

Man vergleiche dazu etwa W. BLASCHKE: Griechische und anschauliche Geometrie, München 1953. 41 29. Linearscharen von Kugeln ansehen. Den Ausdruck links in (3) hat W. K. Potenz von ~. ~' genannt. CLIFFORD (1868) 1) die 28. Potenzebenezweier Kugeln. Suchen wir zu den Kugeln (27,1) die Punkte ~ auf, die an beiden die gleiche Potenz haben! Wir finden als Bedingung ~- 2 Q;, p-p') + ao-a~ = 2 { xda,. -a~) + X 2 (a 2 -a~) + x3 (a3 -a~)} + a0 -a~ = 0. ):l', so ist (1) die Gleichung einer Ebene (Potenzebene), die zur Verbindungsgeraden +>+>' rechtwinklig ist.

Während nämlich bisher die Kugeln als Ort ihrer Punkte angesehen wurden, wollen wir sie jetzt als Hüllgebilde ihrer Ebenen betrachten. )J festen Abstand a haben. Das gibt nach (5, 3) die in den Ui lineare Gleichung (1) Dabei sind aber die Zeiger ui der gerichteten Ebene nicht unabhängig, sondern genügen nach (5, 2) der Normung ui + u~ + u~ = l. (2) Ist in (1) a = 0, so schrumpft die gerichtete Kugel auf einen Punkt zusammen. Auch aus gerichteten Kugeln kann man neue Linearscharen bilden, etwa aus zwei Kugeln sr, sr' die 2 1 t (u 0 + ud1 + u 2 P2 + u 3 p3 - a) + (1- t) (u 0 + u1 P~ + ud; + u 3 P3- a') = 0.

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